【日常の数学】鳩の巣原理 〜身近な例３選〜

今回は、「鳩の巣原理」について紹介します。

---

数学的に書くとややこしいですが、感覚的には、とても 当たり前 です。 例えば、１０人を３つのグループにわけると、どれかのグループは４人以上になりますよね。それだけです。

しかし、ここから面白いことが言えるんですね。

---

例１：サッカーのスタメンで、背番号の下一桁が同じ選手が必ず１組いる

ここでは、「スタメンを背番号の下一桁に応じてグループ分け」 すれば良さそうです。

スタメンは全部で 11 人います。一方で、背番号の下一桁は 0~9 の 10 通りです。 なので、必ず 1 組は下一桁が同じ選手がいるというわけですね。例えば、以下の表のようになりますね。

スタメン	小川	鎌田	南野	三苫	守田	遠藤	堂安	町田	板倉	橋岡	鈴木
背番号	19	15	8	7	5	6	10	16	4	3	1

数式で書くと、以下のようになります。

$n=11,~m = 10,~k = 1$ とすると、 $n > km$ なので、 11 人のスタメンの中に背番号の下一桁が同じ選手が 1 組以上存在する。

この例は直感的にも分かりやすいのではないでしょうか。次から徐々に難しくなってきますが、その分意外なことが導けます。

---

例２：世の中には、髪の毛の本数が全く同じ人が４万人以上もいる!?

ここでは、「人を髪の毛の本数に応じてグループ分け」 すれば良さそうです。

髪の毛の本数ってどのくらいでしょうか。調べたところによると、日本人は 10万本が平均で、欧米人だと 15万本くらいみたいです。そこで、全人類の髪の毛の本数は 20万本以下 であると仮定しましょう。 つまりグループ数は 20万個以下、$m \le 200,000$ です。

一方、全人類の数は2025年現在で 80億人以上 いるみたいです。つまり、 $n > 8,000,000,000$ です。（明らかに80億人ぴったりではないのでイコールは外します）

すると、 $k=40,000$ として、 $n > km$ が言えます。ここから、ある髪の毛の本数を持つ人が 4万人以上 いることが言えました。（ 40,001 人以上とも言える）

数学的に書くと小難しいですが、イメージとしては図の通りです。あり得る髪の毛の本数よりも人口の方が圧倒的に多いから、このようなことが起きるんですね。 髪の毛０本の人だけで 100 万人以上いる気もしますが……。

髪の毛の本数	0本	1本	2本	……	145,134本	145,135本	……	200,000本	---
人数	3,810人	1人	0人	……	43,123人	38,789人	……	0人	計 8,000,000,000人

---

例３：全く同じ時刻に生まれた赤ちゃんは存在するか？

秒数まで同じ時刻ということは、〇年〇月〇日〇時〇分〇秒まで同じということですね。そんな赤ちゃんは存在するのでしょうか。

ここでは、「赤ちゃんを生まれた時刻に応じてグループ分け」 すれば良さそうです。

まず、秒数について。あり得る秒数は、例えば 2024年に限定してみると、 $366\text{日} \times 24\text{時間} \times 60\text{分} \times 60\text{秒} = 31,622,400\text{通り}$ となります。
つまりグループ数は 31,622,400通り、 $m = 31,622,400$ ですね。

続いて、生まれた赤ちゃんの人数を調べてみましょう。詳細な資料は見つかりませんでしたが、 過去データなどから、１年あたり １億人 はいそうです。よって、 $n > 100,000,000$ となります。
ここから、 $k = 3$ として、 $n > km$ が言えます。

よって、 全く同じ時刻に生まれた赤ちゃんは、存在するどころか、４人以上いる ことがわかりました。

一生会えないだろうけど、お幸せに。