【結論版】微分方程式　解法手順チャート

【結論版】微分方程式の解法手順

1. 完全微分方程式かどうか：$f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy = 0$

$f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy = 0 \rightarrow f(x,y) = C$ が解となる。

2. $\frac{dy}{dx} = ~?$ という形かどうか

1. $\frac{dy}{dx} = f(x) \\\rightarrow$ 積分すれば終わり。 $y = \int f(x)dx$

2. $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}\\ \rightarrow$ 変数分離すればよい。 $\int g(y)dy = \int f(x)dx$

3. $\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})\\ \rightarrow$ $u= \frac{y}{x}$ とおくと， $x\frac{du}{dx} + u = f(u)\rightarrow$ 2.2. へ

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{px+qy+r}\\ \rightarrow x = x^{\prime} + s,~y = y^{\prime} + t$ としてうまく $s,t$ を選んで $\frac{dy^{\prime}}{dx^{\prime}} = \frac{ax^{\prime}+by^{\prime}}{px^{\prime}+qy^{\prime}}$ という形に （※ $x^{\prime},y^{\prime}$ は微分ではない ）$\rightarrow$ 2.3. へ

5. $\frac{dy}{dx} = -p(x)y + q(x)\\\rightarrow y=\exp(-\int p(x)dx)\left(\int q(x)\exp(\int p(x)dx)dx + C \right)$

6. ベルヌーイ型：$\frac{dy}{dx} = -P(x)y + Q(x)y^k\\\rightarrow$ $z = y^{1-k}$ とおくと，整理して， $z^{\prime} = -(1-k)P(x)z + (1-k)Q(x)\rightarrow$ 2.5. へ

7. リッカチ型： $\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2 \\\rightarrow$ 特殊解を気合いで見つけて $y=u(x)$ とおく。 $z = y - u(x)$ とおくと，整理して， $z^{\prime} = R(x)z^2+(2R(x)u(x)+Q(x))z\rightarrow$ 2.6. へ

8. その他：頑張って工夫する

3. 線形微分方程式： $y^{(n)}$ が全て一次

1. $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$

   1. $p(x)=const,~q(x)=const,~r(x) = 0 \\\rightarrow \lambda^2+p\lambda+q=0$ の解を $\lambda_1,\lambda_2$ として，
      1. $\lambda_1 \ne \lambda_2 \rightarrow y = C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}$
      2. $\lambda_1 = \lambda_2 \rightarrow y = C_1e^{\lambda_1t}+C_2te^{\lambda_1t}$
      • $\lambda_1,\lambda_2$ が虚数解の場合， $\sin,\cos$ に直せる
   2. オイラー型： $x^2y^{\prime\prime} + px y^{\prime} + qy = 0\\\rightarrow t = \log x$ とおくと $\frac{d^2y}{dt^2}+ (p-1)\frac{dy}{dt} + qy = 0\rightarrow$ 3.1.1. へ
   3. $r(x) = 0\rightarrow$ 基本無理。 一次独立な基本解 $x_1(t),x_2(t)$ が見つかれば， $y = C_1x_1(t)+C_2x_2(t)$
   4. その他 $\rightarrow$ ラプラス変換や定数変化法，勘などで求めた特殊解と $r(x) = 0$ とした時の解を足し合わせたものが答え

2. $y^{(n)} + p_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots +p_0y = 0\rightarrow \lambda^n+p_{n-1}\lambda^{n-1}+ \cdots p_0 = 0$ の解を求めて，3.1.1. と同じように考えれば良い

3. その他：頑張る。べき級数で解く方法もある。基本的にはラプラス変換をしておけば解ける。

4. 典型的な形の場合

1. クレロー型： $y = xy^{\prime} + g(y^{\prime})\\\rightarrow y^{\prime} = p$ とおいて両辺微分すると $p^{\prime}(x + g^{\prime}(p)) = 0 \\\rightarrow$ ここから $p$ を求めて， $y$ を計算すれば良い

2. ラグランジュ型：$y = xf(y^{\prime}) + g(y^{\prime})\\\rightarrow y^{\prime} = p$ とおいて両辺微分すると $(f(p)-p)+p^{\prime}(xf^{\prime}(p) + g^{\prime}(p)) = 0\\\rightarrow \frac{dx}{dp} + x\frac{f^{\prime}(p)}{f(p)-p}+\frac{g^{\prime}(p)}{f(p)-p}=0\rightarrow$ 2.5. へ

5. その他

頑張る。べき級数で解く方法もある

6. 裏技

ラプラス変換をしておけば解けないことはまあない。ただ，計算量が爆発する可能性もある。